2. La complejidad computacional de Navier–Stokes
Las ecuaciones de Navier–Stokes constituyen uno de los ejemplos más importantes de cómo un fenómeno físico puede expresarse mediante un modelo matemático cuya resolución general resulta extraordinariamente compleja.
Es precisamente en problemas de esta naturaleza donde una infraestructura de supercomputación como COMPUTAEX adquiere su sentido científico: Disponer de los recursos computacionales necesarios para resolver este tipo de problemas con una resolución suficientemente elevada y durante intervalos de tiempo suficientemente largos como para obtener resultados útiles.
Cuando las ecuaciones se discretizan sobre una malla espacial y se integran temporalmente, el problema continuo se transforma en un sistema numérico con un número potencialmente enorme de grados de libertad. Cada paso temporal requiere actualizar una gran cantidad de variables y, dependiendo del método empleado, resolver además sistemas lineales o realizar procesos iterativos hasta alcanzar determinados criterios de convergencia.
El coste computacional crece rápidamente al aumentar la resolución. Una malla más fina permite representar estructuras de menor escala, pero incrementa simultáneamente el número de variables, las operaciones necesarias y la cantidad de memoria requerida. Además, en problemas tridimensionales las diferentes regiones del dominio están acopladas, por lo que la paralelización del cálculo y la comunicación eficiente entre procesadores se convierten en elementos fundamentales.
COMPUTAEX permite distribuir el problema entre múltiples unidades de cálculo y abordar simulaciones que, por su escala, memoria requerida y tiempo de ejecución, resultarían impracticables en un ordenador convencional.
2.1. La física contenida en Navier–Stokes
En su formulación para un fluido newtoniano, incompresible y con viscosidad constante, lasecuaciones de Navier–Stokes pueden escribirse como
∂u/∂t + (u · ∇)u = −(1/ρ)∇p + ν∇²u + f,
∇ · u = 0.
(1)
donde u(x, t) es el campo de velocidades, p(x, t) la presión, ρ la densidad, ν la viscosidad cinemática y f representa las fuerzas externas por unidad de masa, como la gravedad. Además, la segunda expresión del gradiente nos da la condición de incompresibilidad. La ecuación de cantidad de movimiento puede interpretarse como la aplicación de la segunda ley de Newton a un elemento infinitesimal de fluido, combinada con una relación constitutiva que describe las tensiones viscosas en un fluido newtoniano. Los términos que aparecen en la ecuación representan diferentes fenómenos físicos.
∂u/∂t — Aceleración local
(2)
Representa la variación temporal de la velocidad en un punto fijo del espacio. Si el flujo es estacionario, este término es nulo.
(u · ∇)u Aceleración convectiva
(3)
Representa el cambio de velocidad que experimenta una partícula de fluido al desplazarse por regiones donde el campo de velocidades es diferente. Este término introduce la no linealidad fundamental de las ecuaciones de Navier–Stokes, puesto que la propia velocidad aparece multiplicando a sus derivadas espaciales.
−( 1/ρ)∇p Fuerza debida al gradiente de presión
(4)
Representa la aceleración producida por las diferencias espaciales de presión. El fluido tiende a acelerarse desde las regiones de mayor presión hacia las de menor presión.
ν∇²u Difusión viscosa
(5)
Representa la acción de la viscosidad, que tiende a suavizar las diferencias de velocidad entre regiones próximas del fluido. El operador laplaciano ∇² describe matemáticamente esta difusión espacial de cantidad de movimiento.
f Fuerzas de volumen
(6)
Representa las fuerzas externas que actúan sobre el fluido por unidad de masa, como la gravedad. Una de las características matemáticas fundamentales de estas ecuaciones es, por tanto, la coexistencia de términos lineales y no lineales. La interacción entre ellos determina la evolución del fluido y puede producir comportamientos extremadamente complejos, especialmente cuando las fuerzas inerciales adquieren una importancia considerable frente a las fuerzas viscosas.
2.2. El número de Reynolds y la complejidad del flujo
La importancia relativa de los términos inerciales y viscosos puede caracterizarse mediante el número de Reynolds:
Re = (UL)/ν = (ρUL)/μ
(7)
donde U es una velocidad característica del flujo, L una longitud característica, ν la viscosidad cinemática y µ la viscosidad dinámica. El número de Reynolds representa, en términos de orden de magnitud, la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas:
Re ∼ (fuerzas inerciales) / (fuerzas viscosas)
(8)
Cuando Re ≪ 1, los efectos viscosos dominan sobre los inerciales y las perturbaciones tienden a amortiguarse rápidamente. En el límite Re → 0, las ecuaciones pueden aproximarse mediante las ecuaciones de Stokes.
Cuando Re aumenta, los efectos inerciales adquieren progresivamente mayor importancia. Pueden aparecer inestabilidades y transiciones hacia regímenes de mayor complejidad. Para valores suficientemente elevados de Re, y dependiendo de la geometría y las condiciones del problema, pueden desarrollarse flujos turbulentos caracterizados por estructuras que abarcan múltiples escalas espaciales y temporales. El número de Reynolds permite definir si el régimen en el que se encuentra un fluido es laminar o turbulento. Por ejemplo, en una tubería circular recta se utiliza Re = U D/ν, donde U es la velocidad media y D el diámetro interior. Los límites aproximados habituales son:
| Número de Reynolds | Régimen habitual |
|---|---|
| Re < 2300 | Laminar |
| 2300 ≤ Re ≤ 4000 | Transición |
| Re > 4000 | Generalmente turbulento |
Estos valores son orientativos para esa geometría y no deben trasladarse, por ejemplo, a la atmósfera ni al flujo alrededor de un objeto. Esta multiplicidad de escalas es una de las razones por las que las ecuaciones de Navier–Stokes constituyen uno de los problemas paradigmáticos de la computación científica.
2.3. De la simulación numérica a la búsqueda de una demostración
El apartado anterior relaciona el número de Reynolds con la complejidad del flujo y con el coste de su simulación. Sin embargo, la aparición de inestabilidades o de turbulencia no implica necesariamente que la solución de las ecuaciones de Navier–Stokes deje de ser regular. Un flujo puede presentar estructuras muy complejas y, al mismo tiempo, seguir estando descrito por un campo de velocidades suave. La pregunta matemática es más profunda: si partimos de unas condiciones iniciales suaves, es decir, de un campo de velocidades sin discontinuidades y con derivadas de todos los órdenes, ¿puede la evolución descrita por las ecuaciones desarrollar una singularidad en un tiempo finito? En otras palabras, ¿puede una solución que inicialmente es suave dejar de serlo durante su evolución?
Una simulación numérica puede proporcionar evidencias sobre el comportamiento de determinados flujos, pero no puede sustituir una demostración matemática sobre las soluciones del sistema continuo. El problema de Navier–Stokes del Clay Mathematics Institute plantea precisamente esta cuestión de existencia y regularidad en tres dimensiones.
Paralasecuaciones(1), en tres dimensiones y conviscosidad positiva, el Clay Mathematics Institute plantea cuatro alternativas. Todas parten de unas condiciones iniciales suaves y compatibles con la incomprensibilidad, ∇·u = 0. Lo que cambia entre ellas es el dominio espacial, la presencia o ausencia de una fuerza externa y, sobre todo, la propiedad que se pretende demostrar [1].
Alternativa A: existencia y suavidad en ℝ³.
Se considera un fluido que ocupa todo el espacio tridimensional ℝ³ y que no está sometido a una fuerza externa, f = 0. La pregunta es si, partiendo de cualquier condición inicial suave y físicamente admisible, la ecuación siempre produce una solución que permanece suave para todo tiempo t ≥0 y cuya energía cinética permanece acotada. En términos sencillos: ¿una condición inicial suave puede producir una singularidad en algún momento, o la solución permanece siempre regular?
Alternativa B: existencia y suavidad en ℝ³/ℤ³.
Se plantea la misma pregunta, pero en un espacio periódico. Esto significa que el campo de velocidades se repite espacialmente, de modo que no es necesario estudiar qué ocurre cuando nos alejamos hacia el infinito. También aquí la fuerza externa es nula y se pregunta si cualquier condición inicial suave y periódica da lugar a una solución suave para todo t≥0. La diferencia respecto a A está, por tanto, en el dominio espacial: en A el fluido ocupa todo R3, mientras que en B se considera un dominio periódico.
Alternativa C: ruptura de la solución en ℝ³.
En este caso la pregunta cambia. Ya no se pretende demostrar que todas las condiciones iniciales producen soluciones globalmente suaves. Se busca demostrar que existe al menos una condición inicial suave y una fuerza externa suave para las que la solución no puede mantenerse suave y globalmente definida. El dominio vuelve a ser todo el espacio ℝ³, pero ahora se permite una fuerza externa f que cumple las condiciones de regularidad y decaimiento establecidas por el problema. Por tanto, C busca un contraejemplo a la afirmación de que las soluciones tridimensionales suaves pueden mantenerse globalmente regulares en este contexto.
Alternativa D: ruptura de la solución en ℝ³/ℤ³.
Es la versión periódica de C. Se busca demostrar que existe al menos una condición inicial suave y periódica y una fuerza externa suave y periódica para las que no existe una solución globalmente suave y periódica. La diferencia respecto a C vuelve a ser únicamente el dominio: ℝ³ en C y el dominio periódico ℝ³/ℤ³ en D.
A y B preguntan si las soluciones permanecen suaves para todo tiempo para cualquier dato inicial admisible. C y D preguntan si existe algún dato inicial y alguna fuerza externa suave que provoquen una ruptura de la regularidad. Por ello, A y B son problemas de existencia global, mientras que C y D son problemas de ruptura o “breakdown”.
2.4. Un sistema multiagente para explorar el espacio de soluciones
El caso reciente de OpenAI sobre el problema del milenio de Navier–Stokes representa un paradigma computacional diferente. El objetivo no era simular numéricamente el comportamiento de un fluido para predecir su evolución sino demostrar una propiedad matemática de las soluciones de las ecuaciones. En particular, el resultado anunciado se refiere al sistema ya presentado en (1), con viscosidad positiva y una fuerza externa f regular.
La construcción anunciada por OpenAI consiste en elegir unas condiciones iniciales suaves y una fuerza externa también suave para las que la solución desarrolla una singularidad en un tiempo finito. El mecanismo presenta una estructura vorticial que se contrae y se estira progresivamente. La región central del vórtice se hace cada vez más pequeña mientras la velocidad aumenta sin límite, aunque la energía cinética total permanezca finita. Los términos asociados a la aceleración, el gradiente de presión, la transferencia de momento y la viscosidad pueden hacerse muy grandes, pero se compensan entre sí de manera precisa, de forma que la fuerza externa permanece regular [2]. Esta construcción se encuadra en las alternativas C y D [2]. No afirma que cualquier flujo tridimensional desarrolle una singularidad ni que la turbulencia implique por sí sola pérdida de regularidad. El objetivo es construir un caso particular con forzamiento suave, no demostrar la existencia global sin fuerza externa que exigen A y B.
La diferencia respecto a una simulación convencional es fundamental: La computación se utiliza para explorar el espacio de posibles argumentos matemáticos, identificar una construcción que permita demostrar la pérdida de regularidad y formalizar posteriormente el razonamiento. La formalización en Lean posteriormente utilizada no sustituye a la revisión matemática independiente del resultado, pero permitió comprobar mecánicamente los pasos que fueron expresados dentro del sistema formal. Es decir, en este nuevo escenario, la computación participa también en la búsqueda del propio procedimiento de demostración.
Según OpenAI, se empleó un sistema multiagente en el que diferentes grupos de agentes exploraron aproximaciones distintas al problema. Los agentes podían utilizar herramientas de programación y comunicarse dentro de sus respectivos grupos. Una vez obtenidos resultados parciales, OpenAI utilizó Codex para consolidar las ideas más prometedoras y trasladarlas entre los diferentes grupos de agentes. El proceso fue, por tanto, más parecido a una búsqueda distribuida de estrategias de
demostración que a una única generación de texto.
El grupo que produjo la resolución de Navier–Stokes alcanzó su resultado aproximadamente 88 horas después del inicio del proceso. Posteriormente, la formalización y verificación mediante Lean requirieron otras 17 horas, los agentes generaron aproximadamente 2,7 millones de mensajes y utilizaron unos 130.000 millones de tokens de salida.
El desarrollo de sistemas capaces de explorar problemas matemáticos a esta escala depende de una infraestructura computacional capaz de sostener simultáneamente el entrenamiento, la inferencia y la ejecución de múltiples agentes. El resultado anunciado por OpenAI es esencialmente una demostración analítica, no una simulación numérica del fluido. La utilización de grandes recursos computacionales permitió explorar un espacio enorme de posibles estrategias, mientras que la
formalización en Lean proporcionó posteriormente una verificación mecánica del argumento.
2.5. Una nueva relación entre computación y matemáticas
La diferencia entre ambos enfoques permite observar una transformación más profunda. En la
simulación científica tradicional tenemos,
ecuaciones −→discretización −→algoritmo numérico −→aproximación
(9)
mientras que en el enfoque utilizado por OpenAI aparece una estructura diferente:
problema matemático −→exploración de estrategias −→demostración −→formalización −→verificación
(10)
En el primer caso, la computación permite aproximar el comportamiento de un sistema físico. En el segundo, participa en la búsqueda del razonamiento necesario para demostrar una propiedad matemática. Esto representa una frontera diferente de la supercomputación tradicional. El ordenador deja de ser únicamente una herramienta que ejecuta un algoritmo completamente especificado de antemano y puede comenzar, en determinados contextos, a participar en la búsqueda del propio procedimiento de resolución. No se trata de sustituir las matemáticas por inteligencia artificial, sino de utilizar sistemas computacionales para explorar espacios de razonamiento que serían demasiado amplios para ser examinados manualmente.
La supercomputación proporciona la capacidad de cálculo; los modelos de inteligencia artificial proporcionan nuevas estrategias de exploración; y los sistemas de demostración formal, como Lean, permiten trasladar finalmente determinados resultados a un lenguaje que puede ser verificado mecánicamente. En esta convergencia entre matemáticas, computación, inteligencia artificial y verificación formal nos encontramos ante las fronteras de la investigación científica.
El nuevo enfoque de Galileo con su uso y mejora del telescopio amplió aquello que el ser humano podía observar directamente. Hoy nos encontramos ante una transformación comparable en otro dominio de la ciencia. Los supercomputadores no constituyen simplemente ordenadores más rápidos. Son instrumentos científicos que amplían nuestra capacidad para calcular, simular y explorar problemas que, hasta hace unas décadas, permanecían fuera de nuestro alcance computacional.
Referencias
[1] Charles L. Fefferman, Existence and Smoothness of the Navier–Stokes Equation, formulación oficial del problema, Clay Mathematics Institute. https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf
[2] OpenAI, Sobre el problema del milenio de Navier–Stokes, 8 de septiembre de 2026.
https://openai.com/es-ES/index/navier-stokes-solution/
Físico | Científico de datos en Weber
Delegado del Colegio Oficial de Físicos en Extremadura
